Pada kesempatan kali ini kami akan membagikan contoh soal invers matriks Matematikan kelas 11 dan jawabannya sebagai sarana dan media anda belajar dirumah.
Apa itu invers matriks matematika? Sebagai informasi, iknvers matriks merupakan operasi yang dilakukan pada sebuah matriks dengan tujuan untuk menemukan matriks yang apabila dikalikan dengan matriks asalnya, akan menghasilkan matriks identitas.
Adapun matriks identitas adalah matriks persegi yang memiliki elemen-elemen diagonalnya bernilai 1 dan elemen-elemen lainnya bernilai 0. Dalam konteks matematika, invers matriks sering digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear, menghitung determinan matriks, serta dalam berbagai aplikasi ilmu terapan seperti dalam teknik dan sains komputer. Invers matriks hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi (matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom sama) dan matriks yang bersifat non-singular, artinya determinannya tidak sama dengan nol.
Syarat Invers Matriks
Agar sebuah matriks memiliki invers, terdapat beberapa syarat yang harus dipenuhi sebagai berikut.
Matriks harus persegi (jumlah baris = jumlah kolom).
Determinan matriks tidak boleh sama dengan nol (det(A) ≠ 0).
Matriks harus non-singular (tidak dapat direduksi menjadi matriks dengan baris atau kolom yang linear tergantung satu sama lain).
Sifat Invers Matriks
Untuk sebuah matriks A berordo n x n dengan n merupakan bilangan bulat positif, dan jika determinan A tidak sama dengan nol, maka jika A⁻¹ adalah invers dari A, berlaku hubungan (A⁻¹) ⁻¹ = A.
Dalam konteks matriks A dan B, keduanya berordo n x n dengan n merupakan bilangan bulat positif, dan asalkan determinan A dan B tidak sama dengan nol, jika dan adalah invers dari matriks A dan B, maka (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.
Rumus Invers Matriks
Invers dari matriks A yang memiliki ordo 2×2 A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} adalah
\quad A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
Untuk mendapatkan invers matriks berordo 2, langkah-langkahnya sebagai berikut:
Tukar elemen-elemen pada diagonal utama.
Ubah tanda negatif pada elemen-elemen yang tidak berada pada diagonal utama.
Bagi setiap elemen matriks dengan determinannya.
Invers dari matriks A yang memiliki ordo 3×3 A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & \imath \end{pmatrix} adalah
\quad A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{Adj} A
Dalam proses perhitungan invers matriks An menggunakan transformasi baris elementer, anda dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
Awalnya, anda dapat membentuk matriks gabungan (An|In), di mana In adalah matriks identitas berordo n.
Selanjutnya, kita melakukan transformasi elemen baris pada matriks (An|In) sehingga kita bisa mengubahnya menjadi matriks (In|Bn).
Hasil dari langkah kedua adalah matriks invers dari matriks An, yang kita sebut sebagai Bn.
Beberapa notasi umum yang digunakan dalam transformasi baris elementer meliputi sebagai berikut.
Bi ↔ Bj: Ini berarti menukar elemen-elemen baris ke-I dengan elemen-elemen baris ke-j.
Bi: Ini mengacu pada pengalihan setiap elemen-elemen baris ke-I dengan suatu skalar k.
Bi + kBj: Ini melibatkan penjumlahan elemen-elemen pada baris ke-I dengan k kali elemen-elemen baris ke-j. A⁻¹
Mempelajari invers matriks adalah salah satu topik penting dalam matematika, terutama pada tingkat sekolah menengah. Dengan pemahaman yang baik tentang invers matriks, siswa dapat mengembangkan kemampuan mereka dalam memecahkan sistem persamaan linear dan menerapkan konsep ini dalam berbagai konteks matematika lainnya. Dalam pada artikel ini, kami akan menyajikan beberapa contoh soal invers matriks yang sesuai untuk siswa kelas 11 beserta jawabannya, sehingga dapat membantu para siswa memahami konsep tersebut dengan lebih baik.
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 Dan Jawabannya
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 1
1. A = \ \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} jika A⁻¹ adalah invers dari matriks A, maka berapa A⁻¹….
A. \quad \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}
B. \quad \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}
C. \quad \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}
D. \quad \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
E. \quad \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}
Jawaban: A. \quad \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}
2. Diketahui matrik \ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} dan \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
Jika matriks Y = A + B, berapa invers matriks dari Y….
A. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
Jawaban: B. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}
3. Diketahui dua buah matriks \ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} dan \quad B = \begin{pmatrix} -6 & -5 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} maka berapa hasil dari AB⁻¹….
A. \ \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1\frac{1}{2} \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1\frac{1}{2} \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1\frac{1}{2} \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
Jawaban: C. \ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1\frac{1}{2} \\ 1 & -2 \end{pmatrix}
4. Diketahui matriks \ A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
maka invers matriks (A-B) berapa…
A. \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -5 & 1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}
Jawaban: D. \ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}
5. Diketahui matriks \ C = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} berapa invers matriks C….
A. \ \begin{pmatrix} 5 & -12 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 3 \\ -2 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 3 \\ -2 & -4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix} \]
E. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix}
Jawaban: D. \ \begin{pmatrix} -5 & -12 & 3 \\ -2 & -4 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{pmatrix} \]
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 2
6. Diketahui matriks \ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} berapa A⁻¹ ….
A. \ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
B. \[ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
Jawaban: A. \ \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}
7. Diketahui dua buah matriks \ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
maka berapa hasil dari invers AB atau (AB)⁻¹….
A. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}
B. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
C. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & -7 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}
D. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -8 & -1 \\ -5 & 4 \end{pmatrix}
E. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
Jawaban:B. \ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
8. Diketahui dua buah matriks \ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}
maka invers matriks AB adalah….
A. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}
B. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3 & 7 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}
C. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}
D. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}
E. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}
Jawaban: C. \ \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 7 & -6 \end{pmatrix}
9. Diketahui sebuah matriks \ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} maka invers matriks A ialah….
A. \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 7 & 4 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}
Jawaban: D. \ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}
10. Diketahui \ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} Jika determinan matriks A adalah -1, maka invers matriks A adalah….
A. \ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
B. \ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
C. \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
D. \ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
E. \ \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}
Jawaban: A. \ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 3
11. Diketahui matriks \ B = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} , tentukan B⁻¹!
Jawaban: Langkah 1: Menghitung Determinan Matriks B
Determinan matriks B dapat dihitung dengan rumus berikut:
det(B) = (8 * 2) – (3 * 5)
det(B) = 16 – 15
det(B) = 1
det(B) = (8 * 2) – (3 * 5)
det(B) = 16 – 15
det(B) = 1
Langkah 2: Menghitung Matriks Kofaktor
Selanjutnya, kita perlu menghitung matriks kofaktor dari matriks B. Kofaktor adalah determinan dari matriks minor yang dihasilkan dengan menghapus baris dan kolom tertentu. Berikut adalah matriks kofaktor B:
Kofaktor(B) = \ \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 8 \end{pmatrix}
Langkah 3: Menghitung Matriks Adjoin
Matriks adjoin adalah matriks transpose dari matriks kofaktor. Jadi, kita harus mentransposisi matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}
Langkah 4: Menghitung Matriks Invers
Invers dari matriks B yang memiliki ordo 2×2 rumusnya adalah
\ B^{-1} = \frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\ B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}
Jadi, invers dari matriks B adalah \ \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 8 \end{pmatrix}
12. Tentukan invers matriks B dari matriks \ B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} !
Jawaban: Langkah 1: Menghitung Determinan Matriks B
Determinan matriks B dapat dihitung menggunakan rumus det(B) = (ad) – (bc), di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks B. Dalam kasus ini:
a = 9 b = 2 c = 4 d = 1
Maka, det(B) = (9 * 1) – (2 * 4) = 9 – 8 = 1.
Langkah 2: Menghitung Matriks Kofaktor
Kita perlu menghitung matriks kofaktor dari matriks B. Kofaktor adalah determinan dari matriks minor yang dihasilkan dengan menghapus baris dan kolom tertentu. Dalam kasus ini, kita memiliki empat matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}
Langkah 3: Menghitung Matriks Adjoin
Matriks adjoin adalah matriks transpose dari matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}
Langkah 4: Menghitung Matriks Invers
Terakhir, kita dapat menghitung matriks invers dengan membagi matriks adjoin dengan determinan matriks B:
\ B^{-1} = \frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\ B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}
Jadi, invers dari matriks B adalah \ \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 9 \end{pmatrix}
Contoh Soal Invers Matriks Matematika Kelas 11 dan Jawabannya Bagian 4
13. Diketahui matriks \ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} dan B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
jika matriks Z adalah (A+B), maka hitunglah invers matriks Z!
Jawaban: Langkah 1: Menghitung Matriks A + B
\ A + B = \begin{pmatrix} 1 + 2 & -1 + 3 \\ 0 + 1 & 1 + 0 \end{pmatrix}
\ A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
Jadi matriks Z adalah \ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
Langkah 2 Menghitung Determinan Matriks Z
Determinan matriks Z dapat dihitung menggunakan rumus det(Z) = (ad) – (bc), di mana a, b, c, dan d adalah elemen-elemen matriks Z. Dalam kasus ini:
a = 3 b = 2 c = 1 d = 1
Maka, det(Z) = (3 * 1) – (2 * 1) = 3 – 2 = 1.
Langkah 3: Menghitung Matriks Kofaktor
Kita perlu menghitung matriks kofaktor dari matriks Z. Kofaktor adalah determinan dari matriks minor yang dihasilkan dengan menghapus baris dan kolom tertentu. Dalam kasus ini, kita memiliki dua matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
Langkah 4: Menghitung Matriks Adjoin
Matriks adjoin adalah matriks transpose dari matriks kofaktor:
\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
Langkah 5 Menghitung Matriks Invers
Terakhir, anda dapat menghitung matriks invers dengan membagi matriks adjoin dengan determinan matriks Z. Invers dari matriks A yang memiliki ordo 2×2 rumusnya adalah
\ Z^{-1} = \frac{1}{\det Z} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\ Z^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
Jadi, invers dari matriks Z adalah \ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
Sekian informasi tentang contoh soal invers matriks Matematika kelas 11 lengkap dengan jawabnnya. Semoga berguna dan bermanfaat.
